Da li brojevi zaista postoje? Filozofija, historija i formalna konstrukcija

inicio » cultura » Da li brojevi zaista postoje? Filozofija, historija i formalna konstrukcija

Kada koristimo brojeve da bismo odredili vrijeme, platili u supermarketu ili provjerili stanje na bankovnom računu, uzimamo ih zdravo za gotovo, kao da su stvarni poput naših ključeva od kuće. Ali ako pažljivo razmislimo o tome, stvari postaju složenije: U kom smislu brojevi zaista "postoje"?Jesu li oni nešto što otkrivamo, poput planeta, ili nešto što izmišljamo, poput likova u romanu?

Ova debata na prilično fascinantan način spaja filozofiju, historiju i matematiku. Kroz vijekove, predloženi su različiti odgovori: od onih koji vjeruju da su brojevi dio neke vrste "apstraktnog svijeta" nezavisnog od nas, do onih koji tvrde da oni nisu ništa više od simbolični alati koje smo kreirali za brojanje, mjerenje i zaključivanje. Usput se pojavljuju ideje poput Peanovih aksioma, teorije skupova, formalne konstrukcije prirodnih, cjelobrojnih, racionalnih, iracionalnih i realnih brojeva, pa čak i poznata ograničenja koja je otkrio Gödel.

Šta znači da broj "postoji"?

Prije nego što se udubimo u formule i aksiome, vrijedi razjasniti šta zaboga podrazumijevamo pod "postojanjem". Postojanje stola nije isto što i postojanje Sherlocka Holmesa ili postojanje... broj poput 24Stol je fizički objekt; Holmes je izmišljen, ali dobro definisan lik; s druge strane, broj 24 ne zauzima prostor, ne teži ništa i ne može se odložiti u ladicu.

Jedan način pristupanja problemu, koji potiče od Platona, tvrdi da su brojevi apstraktni entiteti koji žive u nefizičkom domenuNisu napravljeni od materije, ali su "stvarni" kao pravda ili ljepota u Platonovoj filozofiji. Iz ove perspektive, matematičari ne izmišljaju brojeve, već ih otkrivaju: broj 24 je bio "tu" iako niko nije pomislio na njega.

Drugi filozofi i matematičari tvrde nešto drugačije: brojevi bi radije simboli i konceptualne konstrukcije koje razvijamo da modeliraju svijet. Ne bi postojali izvan naših teorija i konvencija, iako bi, kada se ta pravila uspostave, matematički rezultati bili onoliko kruti koliko bismo željeli. U ovom pristupu, 24 je rezultat sistema simbola i operacija oko kojeg smo se dogovorili, a ne dio nezavisnog matematičkog univerzuma.

Postoje i zanimljivi međuprijedlozi: neki autori tvrde da je broj vrsta apstraktni objekt sa posebnim svojstvom da "ako bi mogao postojati, postojao bi"Drugim riječima, koncept samo treba biti moguć i dobro definiran da bi imao određenu vrstu logičkog ili matematičkog postojanja. Ovaj način govora nam omogućava da uključimo ne samo brojeve, već i skupove, površine, funkcije, geometrijske figure i mnoge druge entitete koje svakodnevno koristimo u matematici.

Sa bilo koje od ovih tačaka gledišta, osnovni problem je sličan: Po čemu se postojanje broja razlikuje od postojanja izmišljenog lika?Svi znaju šta je broj 5 i svi znaju ko je Sherlock Holmes, ali im ne pripisujemo istu vrstu realnosti. Diskusija, daleko od toga da bude riješena, obično postavlja više pitanja nego što daje odgovora.

Brojevi, simboli i značenje: šta je zapravo "2"?

Ako odbacimo ono što uzimamo zdravo za gotovo i objektivno sagledamo brojeve, prvo što vidimo je pisani simboli ili zvukovi kada se izgovore"2" koje pišemo na papiru, "dva" koje izgovaramo naglas ili rimsko "II" nisu sam broj, već reprezentacije.

Simbol je, sam po sebi, jednostavan potez ili zvuk bez sadržaja. Ono što mu daje značenje je kolektivni dogovor: Odlučili smo da ovaj potez predstavlja količinu, redoslijed, mjeruBaš kao i sa slovima abecede, koja sama po sebi ne znače ništa, već kombinovana formiraju riječi koje povezujemo sa idejama, stvarima ili radnjama.

Ova simbolična perspektiva otkriva nešto važno: Nema ništa "magično" u konkretnom obliku brojevaMogli bismo koristiti potpuno različite simbole, i sve dok se slažemo oko istih pravila i značenja, matematika bi i dalje funkcionisala. U stvari, kroz historiju je postojalo mnogo brojnih sistema, sa potpuno različitim simbolima i pravilima, a ipak su svi služili za brojanje, mjerenje i izračunavanje.

Međutim, svakodnevna upotreba brojeva ide daleko dalje od pukog zapisivanja: Moć brojeva postaje očigledna kada radimo s njima.Sabiranje, oduzimanje, množenje, dijeljenje, potencioniranje… Sve ove operacije nam omogućavaju da modeliramo stvarne pojave: od dijeljenja torte do dizajniranja GPS navigacijskog sistema ili izračunavanja doze vakcine.

Upravo zato što matematika podupire gotovo svu modernu tehnologiju, matematičari su bili prisiljeni, posebno od 19. stoljeća nadalje, da da sa maksimalnom preciznošću definišu šta su podrazumijevali pod "brojem"Nije bilo dovoljno jednostavno reći „to je ono što koristimo za brojanje“; bila je potrebna formalna definicija kako bi se izbjegle kontradikcije i omogućila izgradnja cijele teorije sa sigurnošću.

Postoje li beskonačni brojevi ili ni to nije tako jasno?

Jedno od najzagonetnijih pitanja kada se raspravlja o postojanju brojeva je tema beskonačnostiNavikli smo reći da postoji beskonačno mnogo prirodnih brojeva: 0, 1, 2, 3... i tako dalje. Ali ako to prihvatimo, postavljaju se neka zanimljiva pitanja.

Na primjer: ako razmišljamo o "skupu svih brojeva" i želimo odabrati jedan "nasumično", koja je vjerovatnoća da dobijemo 5? Intuitivno, mogli bismo reći nešto poput 1 podijeljeno sa beskonačnost, što bi izgledalo kao nulaA ako je vjerovatnoća nula, neko bi mogao biti u iskušenju da kaže da se 5 "ne pojavljuje" u tom skupu, što zvuči apsurdno jer je 5 očigledno tamo.

Ova vrsta razmišljanja ilustruje sukob između svakodnevnih intuicija o beskonačnosti i rigorozan način na koji se vjerovatnoća i beskonačni skupovi tretiraju u matematiciU teoriji mjere i vjerovatnoće, nešto što ima nultu vjerovatnoću ne znači da je nemoguće; to jednostavno ukazuje na to da je, unutar beskonačnog kontinuuma, njegova "težina" zanemarljiva. Drugim riječima, ideja da "nulta vjerovatnoća = ne postoji" nije tačna u matematici.

Iz ovoga proizilazi još jedan, filozofskiji prijedlog: možda brojevi nisu "dati" kao potpuna beskonačnost, već Generiramo ih korak po korak, napredujući bez ograničenja, ali bez dostizanja konačne beskonačnosti.Drugim riječima, brojevi bi bili potencijalno beskonačni (uvijek možemo nastaviti dodavati 1), ali ne bi postojao "zbir" svih njih kao nešto zatvoreno.

Ovaj stav se povezuje s pojmom prirodnih brojeva kao objekata koji se konstruišu sukcesijom (0, zatim njen sljedbenik, zatim sljedbenik sljedbenika i tako dalje), što nas vodi do poznatog Peanove aksiome teorija skupova kao formalna osnova moderne matematike.

Od ničega do nule: skupovi, prazan prostor i prirodni brojevi

Da bi rigorozno konstruisali prirodne brojeve, mnogi matematičari 19. vijeka oslanjali su se na zajednički jezik: Teorija skupovaIdeja je naizgled jednostavna: radimo sa "skupovima" (kolekcijama) i "elementima" (onim što pripada tim kolekcijama) i dajemo nekoliko osnovnih aksioma o tome kako se oni ponašaju.

Jedan od osnovnih aksioma je aksiom proširenja: Dva skupa su jednaka ako imaju potpuno iste elementeDruga, specifikacija, nam omogućava da formiramo podskupove iz uslova: za dati skup A i svojstvo T, postoji skup svih elemenata skupa A koji zadovoljavaju T.

Pomoću ovih alata možemo definirati nešto ključno: prazan set, što je skup koji nema elemenata. Može se predstaviti kao skup svih x u A takvih da je x ≠ x (nemoguć uslov), tako da niko ne ulazi u taj klub. Ovaj skup se obično naziva 0 i postaje temelj formalne konstrukcije prirodnih brojeva.

Odatle, prve brojeve možemo "imenovati" kao određene skupove: prazan skup nazivamo 0, skup koji sadrži samo 0 nazivamo 1, skup koji sadrži i 0 i 1 nazivamo 2 i tako dalje. Svaki broj je konstruisan kao skup koji sakuplja na sve gore navedene brojeveOvaj način kodiranja prirodnih brojeva (slično Fregeovom prijedlogu, a kasnije i von Neumannovom) omogućava povezivanje reda "manje od" sa uključivanjem skupova.

Da bismo krenuli dalje, potreban nam je aksiom unije: za datu kolekciju skupova postoji skup koji sadrži sve elemente koji pripadaju barem jednom od njih. Također definiramo nasljednik skupa A jer je A+ = A ∪ {A}. To jest, dodajemo sam skup kao novi element, što nam omogućava da idemo "gore" broj po broj.

Ovo uvodi koncept nasljedni skupSkup S je nasljedni skup ako sadrži 0 i, kad god sadrži element A, sadrži i njegovog nasljednika A+. Ključni aksiom kaže da postoji barem jedan nasljedni skup. Ako uzmemo presjek svih mogućih nasljednih skupova, dobijamo najmanji skup koji ih sve sadrži: upravo tu je skup nasljednika "ugniježđen". prirodni brojevi, ℕ.

Peanovi aksiomi: osiguranje da je 1 + 1 = 2 nije tako trivijalno

Kada identifikujemo ℕ kao minimalni skup koji sadrži 0 i stabilan je po sukcesiji, možemo proučavati njegova svojstva. Giuseppe Peano je krajem 19. vijeka formulisao vrlo kompaktnu listu aksioma koja obuhvata suština ponašanja prirodnih brojeva.

U tipičnoj verziji, počevši od 1 umjesto od 0, Peanovi aksiomi, u širem smislu, tvrde sljedeće: prvo, 1 je prirodan brojDrugo, svaki prirodni broj ima sljednika, koji je također prirodan broj. Treće, nijedan prirodni broj nema 1 kao svog sljednika (ili, u drugoj formulaciji, 0 nije sljednik nijednog prirodnog broja). Četvrto, ako skup prirodnih brojeva sadrži 1 i zatvoren je nizom, onda sadrži sve prirodne brojeve: ovo je princip indukcijePeto, ako dva broja imaju istog nasljednika, onda su ta dva broja jednaka.

Ovi aksiomi, iako djeluju formalno i pomalo suhoparno, obuhvataju ideje koje nesvjesno koristimo od djetinjstva. Na primjer, indukcija nam omogućava da dokažemo svojstva tipa "svi prirodni brojevi zadovoljavaju X" dokazujući da X važi za prvi A ako važi za jedan broj, onda važi i za njegovog sljedbenika. To je svojevrsni logički domino efekt.

Iz ovih aksioma se izvode osnovna svojstva prirodnih brojeva, kao što je to Ne postoji broj čiji je nasljednik 0ili da je operacija "nasljednika" injektivna (ako dva broja imaju istog nasljednika, oni su isti broj). Također nam omogućavaju da okarakteriziramo ℕ kao jedini skup koji zadovoljava određene kombinovane uslove sukcesije i indukcije.

Najzanimljivije je to što se, polazeći od ovog logičkog okvira i pojma nasljednika, može rigorozno konstruisati uobičajene aritmetičke operacijesabiranje, množenje i potencije, te demonstrirati njihova klasična svojstva (komutativnost, asocijativnost, postojanje neutralnih elemenata itd.) bez pozivanja na "intuitivno je tako".

Kako konstruisati zbir, proizvod i potencije nad ℕ

Kada prihvatimo Peanove aksiome i dobro definišemo skup ℕ, možemo se zapitati: kako tačno definišemo operacije poput sabiranja, a da ih ne uzimamo zdravo za gotovo? Za to koristimo veoma moćan alat: Teorem o ponavljanju, što garantuje postojanje i jedinstvenost određenih funkcija definisanih korak po korak na prirodnim brojevima.

Ideja je sljedeća: ako imamo skup X, početni element a u X i funkciju f: X → X, teorem osigurava da postoji jedinstvena funkcija u: ℕ → X takva da u(0) = ayu(n+) = f(u(n)) za sve prirodne brojeve n. To jest, možemo konstruirati u primjenom f iznova i iznova počevši od a, i neće postojati dva različita načina da se to učini, a da se poštuje ta definicija.

Primjenjujući ovu ideju na prirodne brojeve, možemo definirati zbir fiksnog broja m s bilo kojim n. Uzimamo X = ℕ, a = m i funkciju s: ℕ → ℕ koja preslikava svaki na na njegovog nasljednika n+. Tada nam Teorem ponavljanja daje funkciju S_m: ℕ → ℕ, gdje je S_m(0) = m i S_m(n+) = s(S_m(n)). Ovu funkciju interpretiramo kao zbir m + nTo jest, definišemo S_m(n) = m + n.

S ovom formalnom definicijom, nešto uobičajeno kao 1 + 1 postaje mali lanac aplikacija: 1 + 1 = S_1(1) = S_1(0+) = s(S_1(0)) = s(1) = 2Nije stvar u tome da matematičari ne znaju da je 1 + 1 jednako 2, već žele opravdati zašto je, unutar aksiomatskog sistema, ta jednakost neizbježna.

Iz ove definicije, može se dokazati svojstva kao što su da 0 djeluje kao jedinični element za sabiranje (m + 0 = my, 0 + m = m za sve m), da je sabiranje komutativni (a + b = b + a) i to je takođe asocijativni ((a + b) + c = a + (b + c)). Svi ovi dokazi se oslanjaju na princip indukcije i ponašanje sljedbenika.

Proizvod se definiše slično. Fiksiramo broj m, uzimamo funkciju P_m: ℕ → ℕ takvu da je P_m(0) = 0 i P_m(n+) = S_m(P_m(n)). P_m(n) interpretiramo kao m × nTako, na primjer, 1 × 2 se razvija kao P_1(2) = P_1(1+) = S_1(P_1(1)) = S_1(1) = 2. Zatim, ponovo koristeći indukciju, demonstriraju se njegova svojstva: komutativnost, asocijativnost i da je 1 jedinični element proizvoda.

Stepeni se konstruišu poduzimanjem daljnjeg koraka: definiramo E_m: ℕ → ℕ sa E_m(0) = 1 i E_m(n+) = P_m(E_m(n)), i pišemo E_m(n) = m^n. Iz ove definicije, identiteti kao što su m^(n + k) = m^n × m^k, opet uz pomoć principa indukcije i već dokazanih svojstava proizvoda.

Cijeli ovaj proces, iako formalan i donekle tehnički, ilustruje da struktura elementarne aritmetike nije "u zraku", već je podržana nekoliko vrlo jasnih aksioma i nekoliko logičkih argumenataIz ove perspektive, "postojanje" prirodnih brojeva znači da postoji model (na primjer, skupovi konstruisani iz praznog skupa) koji zadovoljava te aksiome.

Od prirodnih brojeva do cijelih brojeva, racionalnih i iracionalnih brojeva

Kada se prirodni brojevi čvrsto utvrde, priča tu ne staje. Svakodnevni i naučni problemi nas prisiljavaju da proširite ovaj numerički univerzumNa primjer, kod prirodnih brojeva znamo samo brojati i sabirati, ali ne i oduzimati općenito ili dijeliti.

Sljedeći korak je obično uvođenje cijeli brojevi, koji uključuju prirodne brojeve i njihove negativne verzije: …, -2, -1, 0, 1, 2, … Historijski gledano, razlomci su dolazili prije negativnih brojeva, ali sa formalnog stanovišta, pogodno je početi sa cijelim brojevima. Cijeli broj se može definirati kao klasa ekvivalencije parova prirodnih brojeva (a, b), gdje smatramo dva para (a, b) i (c, d) ekvivalentnim ako je a + d = b + c. Intuitivno, ovo odgovara razmišljanju o "oduzmi" od − b, iako formalno to oduzimanje još ne postoji unutar ℕ.

Zatim racionalni brojeviOvo odgovara razlomcima koje smo oduvijek poznavali. Koriste se za mjerenje količina koje nisu cijeli broj jedinica, kao što su pola kolača, trećina litre ili tri četvrtine sata. Racionalni broj se obično predstavlja kao a/b, gdje su a i b cijeli brojevi, a b ≠ 0. Formalno, svaki racionalni broj se definira kao klasa ekvivalencije parova (a, b), pri čemu b nije jednako nuli, gdje su dva para (a, b) i (c, d) ekvivalentna ako a·d = b·cTo jest, ako predstavljaju isti omjer.

Pitagorejci su vjerovali da je "sve broj" u smislu "sve je racionalno", ali ovo gledište je razbijeno kada je otkriveno da se dijagonala kvadrata sa stranicom dužine 1 (kvadratni korijen iz 2) ne može zapisati kao razlomak cijelih brojeva. Kasnije je također pokazano da π i e su iracionalni brojeviTo jest, ne mogu se izraziti kao a/b sa cijelim brojevima a i b.

Da se rigorozno konstruiše iracionalni brojevi To je malo delikatnije. Elegantniji način da se to uradi je putem poziva. Dedekindovi rezoviIdeja je razmotriti određene podskupove racionalnih brojeva koji imaju specifičnu gornju granicu. Na primjer, možemo uzeti skup svih racionalnih brojeva čiji je kvadrat manji od 2; njegov prirodni "rez" je √2, što nije racionalno. Na taj način, svaki odgovarajući rez može se posmatrati kao realni broj, a neki od ovih rezova ne odgovaraju racionalnim brojevima.

Kombinovanjem svih racionalnih brojeva i svih ovih rezova koji daju iracionalne brojeve, konstruišemo skup realni brojevi, ℝU ℝ žive svi brojevi koje koristimo za mjerenje kontinuiranih veličina: dužine, površine, vremena, brzine itd. Unutar realnih brojeva su i dalje "ugrađeni" prirodni, cijeli i racionalni brojevi, svaki sa svojim specifičnim tumačenjem.

Kratak pregled historije brojnih sistema

Pitanje postojanja brojeva nije samo apstraktno; ono se također odražava u historiji o tome kako su različite kulture naučile da brojanje i pisanje količinaNajraniji dokazi o numeriranju datiraju iz oko 7000. godine prije nove ere, a oznake i kosti su korištene za jednostavno brojanje.

U drevnom Egiptu, za vrijeme Prve dinastije, razvijen je hijeroglifski decimalni brojevni sistem. Svaka potencija broja deset imala je svoj simbol i bili su Elemente su grupirali u desetine.Korišten je za praktične zadatke poput obračunavanja poreza, mjerenja poljoprivrednih polja ili izgradnje hramova.

U Mezopotamiji, Sumerani, a kasnije i Babilonci, koristili su seksagezimalni sistem brojenja, tj. baza 60Njegova složenost ležala je u velikom broju simbola i mogućih kombinacija, ali se pokazao izuzetno efikasnim za astronomiju i mjerenje vremena. U stvari, to naslijeđe i danas koristimo u satima, minutama i sekundama.

Grci su uzeli egipatsku bazu deset kao referencu i razvili sistem u kojem su koristili slova njihove abecede koja predstavljaju brojeveMeđutim, atički sistem se pokazao prilično krutim i donekle je ograničavao razvoj napredne aritmetike, iako su Grci spektakularno blistali u geometriji i logičkim dokazima.

Rimski sistem, nama poznatiji, dodjeljivao je numeričke vrijednosti određenim slovima (I, V, X, L, C, D, M). Iako je izgledao jednostavnije od drugih, Nije bilo pozicionoZbog toga je izvođenje složenih proračuna bilo vrlo teško. Za nekoliko datuma na fasadi zgrade to je sasvim u redu; ne toliko za algebru.

Paralelno s tim, u Indiji se oko 5. vijeka prije nove ere pojavio decimalni i pozicijski sistem. U ovom sistemu, vrijednost svake cifre zavisi od njenog položaja, a deset jedinica jednog reda ekvivalentne su jednoj jedinici sljedećeg višeg reda. Ovaj sistem, koji je eksplicitno uključivao nula kao brojPokazalo se da je nevjerovatno moćno i praktično.

Arapi, u kontaktu s kulturama kao što su hinduistička, grčka i egipatska, usvojili su i proširili ovaj decimalni pozicijski sistem. Iako govorimo o "arapskim brojevima", u stvarnosti Njegovo porijeklo je u IndijiIslamski narodi su ga prenijeli u Evropu, između ostalog, preko Al-Andalusa. Vremenom je ovaj sistem zamijenio rimske brojeve i postao svjetski standard.

U predkolumbovskoj Americi, majanska civilizacija razvila je izuzetno napredan numerički sistem, zasnovan na broju 20 i također pozicijski. Štaviše, eksplicitno su prepoznavali nulu. Brojeve su predstavljali kombinovanjem tačke i trake: tačke za jedinice i crte za grupisanje po peticama. Njegovo rukovanje kalendarom i astronomijom bilo je zapanjujuće tačno.

Cijeli ovaj historijski pregled pojačava ideju da, iako se forme i pravila mijenjaju, Potreba za brojanjem, mjerenjem i uređivanjem svijeta je univerzalna.Brojevi, u svojim različitim inkarnacijama, kao da se pojavljuju iznova i iznova gdje god postoji civilizacija koja želi organizirati svoje iskustvo okoline.

Granice sistema: Gödel i vjera u matematiku

Krajem 19. i početkom 20. vijeka, mnogi matematičari su nastojali da matematiku pretvore u potpuno čvrsta građevina, oslobođena kontradikcijaIdeja je bila pronaći konačan skup osnovnih aksioma iz kojih bi se svi ostali matematički rezultati mogli izvesti korištenjem čiste logike.

Ličnosti poput Henrija Poincaréa bile su skeptične i smatrale su ovu ambiciju nedostižnom, dok su drugi, predvođeni David HilbertBili su uvjereni da se savršen aksiomatski sistem može postići za aritmetiku, a time i za ostale grane matematike.

Tada se pojavio Kurt Gödel i dokazao dvije teoreme koje su zauvijek promijenile situaciju. Prva tvrdi, znatno pojednostavljujući, da u bilo kojem sistemu dovoljno moćnom da uključi osnovnu aritmetiku (na primjer, Peanove aksiome), uvijek će postojati istinite tvrdnje koje se ne mogu dokazati unutar samog sistema. Drugim riječima: aritmetika ne može biti i potpuna i konzistentna.

Gödelov drugi teorem je još više uznemirujući: on pokazuje da ako je aksiomatski sistem poput aritmetičkog konzistentan (nema kontradikcija), onda Ta konzistentnost se ne može demonstrirati unutar samog sistema.Ako bi neko dokazao da u matematici nema kontradikcija koristeći samo njene aksiome i pravila, to bi, paradoksalno, značilo da sistem nije koherentan.

Ovi zaključci su ponekad tumačeni kao svojevrsna "kosmička šala": ako se toliko oslanjamo na matematiku kao ultimativni alat za sticanje znanja, moramo prihvatiti da, u određenom smislu, Također moramo vjerovati u nešto što ne možemo dokazati unutar samog matematičkog okvira."Postojanje" razumnog aritmetičkog sistema, bez kontradikcija, zahtijeva minimalni čin vjere.

Kada sastavimo cijelo ovo putovanje - od simbola i Ishango kosti, preko Egipta, Babilona, ​​Indije i Maja, do teorije skupova, Peanovih aksioma, formalnih konstrukcija različitih tipova brojeva i Gödelovih teorema - ono što vidimo je da su brojevi, istovremeno, ljudski alati i iznenađujuće robusne struktureMožemo raspravljati o tome da li oni "postoje" kao apstraktni entiteti ili kao sofisticirane konvencije, ali je jasno da oni oblikuju naše razumijevanje svemira i, na neki način, nas prevazilaze: čak i ako bismo nestali, teško je zamisliti kosmos u kojem 1 + 1 više ne bi bilo 2.